郭笨聪要她二人画的，其实是一组渐开线。
渐开线的画法极为简单，将一个圆柱体固定在一个平面上，圆柱上缠了线，在线的一端绑一支笔，然后拉紧线头画出的轨迹，就是渐开线了。
听琴将那木质圆柱按在硬纸板上。牛西西一边画，一边问道：“妹子，这画的是什么线？”听琴道：“叫做渐开线。”牛西西点头赞道：“果然形象，将一根线渐渐拉开，画出的轨迹自然是渐开线了。”又问道：“那这些大小不同的圆柱，画出的渐开线也不一样吧？”听琴道：“应是如此。画出渐开线的圆柱，似乎叫做基圆。”又转头看了看郭笨聪，道：“他是这么说的。”
关于渐开线，郭笨聪自认为没甚么深奥之处，因此他在讲与听琴时，完全按着自己学的内容讲了出来，毕竟这不是电阻、电流之类的计算公式，只是一个图形而已，也不易引人怀疑。
所谓基圆，也叫渐开现发生圆。不同直径的基圆，其产生的渐开曲线都不一样。齿轮的齿截面，是取自渐开线的一段。用渐开线曲面做出的齿轮，在相互咬合时，两齿不会产生滑动，而且始终保持作用力垂直于齿面。此话听起来颇为难懂，但郭笨聪却有办法解释清楚。
听琴与牛西西在桌上画着渐开线。郭笨聪也未闲着，取过另一支铅笔，开始在纸上计算。他计算的是齿轮的模数、齿根圆直径、齿高。他在纸上写一阵，又偷偷取出那本《机械原理》教材查看一番，然后继续俯在桌上计算。
过了许久，郭笨聪终于得到了一个齿轮的参数，他取过牛西西的木工圆规，在尺子上量了直径，然后在硬纸板上画了一个圆，作为齿轮的齿根圆，接着又定了齿高，画了齿顶圆与分度圆。接下来要做的，也是最后一步，该在齿轮上画出齿形了。
有人在门外道：“少监在么？”郭笨聪大声道：“在！”走出房门一看，院外站了两人，其中一人年约三十，身上背了一个木箱，另一人年约七旬，头发胡子全白了，正是大学士蔡西行。郭笨聪忙迎了出去，道：“大学士快快请进。”
蔡西行微一示意，旁边那人将木箱背进屋内，然后转身退了出去。
郭笨聪取过椅子。蔡西行坐定，忽又看到听琴与牛西西在桌边忙个不停，竟然未与自己打招呼，问：“少监，陆姑娘在画甚么？”郭笨聪道：“在画齿轮。”
蔡西行甚奇，站起来走近桌边看了片刻，恍然道：“原来是这种齿轮，与圆仪上用到的似乎一样。”
郭笨聪奇道：“何为圆仪？”蔡西行道：“是一种与浑天仪相似的仪器。少监必定也知道，司天院早在靖康年间就没了浑天仪，因此后来又制了圆仪。”
郭笨聪点头道：“晚辈略知一些。”心中却是纳闷，浑天仪怎么会在靖康年间丢失，难道后世呈于博物馆的浑天仪是假的？
其实郭笨聪有所不知。在北宋靖康之耻以后，金国虏去徽、钦二帝，以及皇后、皇妃、皇子、宗室、贵戚近四千多人，另外还将大宋的皇玺、法物、礼器、包括浑天仪，也都搜罗一空。浑天仪后来一直放在金国司天院。金国灭亡之后，浑天仪又被元朝拥有，因此后世的浑天仪自然是真的。
蔡西行又道：“比起浑天仪，圆仪的设计更为巧妙，各方面已超出浑天仪甚多，少监如有兴趣，可去司天院一观。”郭笨聪吓了一跳，忙问道：“圆仪现在万宁？”蔡西行道：“正是。圆仪一直存放于龙舟之内，由于近日要改造战船，因此龙舟内的所有物品被清理一空，圆仪也被搬到了司天院。”
郭笨聪闻言吃惊不小，他以前从未听说过“圆仪”，历史中似乎也无记载，难道这个比浑天仪还好的宝贝，竟然随着龙舟一起沉入海中了？
蔡西行又道：“少监画的这齿轮，与圆仪中的齿轮看似相同，只是为何要画得如此烦琐？”郭笨聪道：“晚辈画的叫做渐开线齿轮，乃是一种最好的齿轮。”蔡西行甚奇，问：“如何好法？”郭笨聪道：“大学士如果不急着走，可等她二人画好之后，晚辈再与您示范。”蔡西行摇头道：“不急，不急。自从到了万宁之后，老夫从未急过。”
过了好一阵，听琴与牛西西终于画好了齿轮。牛西西长舒了一口气，低头数了一下，道：“少监，总共二十三个齿。”郭笨聪道：“这就没错了，我想要的就是二十三齿。”
牛西西取过小刀，将那齿轮裁了下来，又比着画了另一个完全相同的齿轮，也裁了下来。听琴取过一块木板，用细针将齿轮圆心固定在木板上，两个齿轮刚好啮合。
那纸板约两毫米厚，一个齿轮转动时，正好带动另一个齿轮。
郭笨聪将木板摆在桌上，道：“大学士请看，这是晚辈画的一种齿线，叫做渐开线。如果用了渐开齿，两个齿在转动的任意瞬间，齿的受力均垂直于齿面，而且齿间不会磨擦滑动。”
蔡西行听得惊讶，又看到郭笨聪取过毛笔，在刚刚进入啮合的两齿间画了一条直线，这直线穿过两齿的啮合线，又恰好垂直于两个齿面。
听琴慢慢转动其中一个齿轮，另一个齿轮也跟着转动。
郭笨聪道：“大学士请看，这两个齿从开始接触到最终分离，齿面间不会滑动，而且压力始终垂直于齿面。”蔡西行仔细看去，果然是如此。
郭笨聪又将两个齿轮稍稍远离，但仍保持着相互咬合，只是中间有了些空隙。
蔡西行看了片刻，更是惊讶，道：“两个齿轮距离虽然变了，齿间却仍不会滑动，这当真是奇了。”忽又问道：“少监这齿轮如何制法？可是铸造？”郭笨聪长叹一声，道：“还未想好，或许先做些木质齿轮吧。晚辈本想今日做些纸样送到铁厂，制些铁质刀具之后，便可以切削木头了。”
蔡西行点了点头，道：“如此看来，老夫来得正是时候。少监可打开那箱子看看。”
听琴蹲在地上，将那箱子轻轻打开。这箱子里竟然放了七、八本书。听琴翻出其中一本，只见封面上写着“金工物语”四字，下方又写有“锻造篇”。听琴看得惊讶，又拿起另一本，也是《金工物语》，只是下面的小字却变成了“磨削推刮篇”。
郭笨聪也走了过去，拿起另一本书一看，还是《金工物语》，封面下方写着“钻金篇”。
这竟然像是一整套书籍。
听琴翻开其中一本，看了几页之后，又拿起另一本翻看，忽然“咦”了一声，惊讶道：“大学士，这书并不像是印出来的，而是用毛笔写的。”
蔡西行道：“陆姑娘说的没错，这书确实是老夫逐字写出来的。三十年前，老夫偶然搜集了十六本古籍，便开始写这书，到了今日，已总共参阅了各类典籍一百三十六本，东拼西凑之后，终于写成了八册，只因近年连逢战事，此书并未批量印刷。”
郭笨聪问道：“那就是天下独此一套八册了？”
蔡西行点头道：“正是。倘若那日龙舟不幸沉没，世人也就无缘见到此书了。”
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